켈리 공식 유도와 켈리 공식의 유도

켈리 공식(Kelly Criterion)은 도박이나 투자에서 수익을 극대화하면서도 파산 가능성을 최소화하는 최적의 베팅 금액을 계산하는 수학적 공식이다. 이 공식은 정보 이론을 연구하던 존 켈리(John Kelly)에 의해 1956년에 처음 제안되었다. 켈리 공식을 사용하면, 베팅이나 투자의 기대수익을 극대화할 수 있으며, 위험을 효과적으로 관리할 수 있다.

켈리 공식

켈리 공식은 다음과 같다.

f^* = \frac{bp - q}{b}

$f^*$ : 총 자산에서 베팅할 비율 (Optimal Bet Fraction)
$b$ : 베팅에서 승리할 경우의 배당 (예를 들어, 1:1일 경우 $b = 1$ )
$p$ : 베팅에서 이길 확률 (win probability)
$q$ : 베팅에서 질 확률 ( $q = 1 - p$ )

이 공식은 주어진 조건 하에서, 자산의 비율을 최적화하여 장기적인 수익을 최대화하는 비율을 나타낸다.

켈리 공식 유도

문제 정의:
- 당신은 베팅을 여러 번 반복하며, 각 베팅에서 자산의 일정 비율 $f$ 를 걸고 있다.
- 이길 확률이 $p$ , 질 확률이 $1 - p$ , 승리 시 수익 배율이 $b$ 인 베팅 상황에서, 베팅 비율 $f$ 를 어떻게 정해야 하는지 결정하는 문제다.
기대 자산의 수익률 계산:
베팅을 한 번 했을 때의 결과는 두 가지다:
- 이길 경우: 자산은 $(1 + f \cdot b)$ 배 증가.
- 질 경우: 자산은 $(1 - f)$ 배 감소.
따라서 $n$ 번 베팅 후 자산을 최대화하려면 다음을 최대화해야 한다.
$E[\text{log}(W)] = p \cdot \log(1 + f \cdot b) + (1 - p) \cdot \log(1 - f)$
여기서 $E[\text{log}(W)]$ 는 장기적으로 자산의 로그 기대 값이다. 로그를 사용하는 이유는 장기적인 성장률을 최대화하기 위해서다.
최대화 과정:
기대 자산의 로그 값을 최대화하기 위해 베팅 비율 $f$ 에 대해 미분한 후 0으로 설정하여 최적의 $f^*$ 를 구한다.
$\frac{d}{df}\left( p \cdot \log(1 + f \cdot b) + (1 - p) \cdot \log(1 - f) \right) = 0$
이 방정식을 풀면 켈리 공식이 나온다.
$f^* = \frac{bp - (1 - p)}{b} = \frac{bp - q}{b}$

따라서 최적의 베팅 비율 $f^*$ 는 위와 같이 도출된다. 이를 통해 장기적으로 자산을 극대화할 수 있다.

켈리 공식의 의미

f 값이 너무 크면 파산 위험이 높아진다.
f 값이 너무 작으면 잠재적인 수익을 모두 실현하지 못한다.
켈리 공식은 수학적으로 수익률을 최대로 하면서도 리스크를 효율적으로 관리할 수 있는 베팅 또는 투자 전략을 제공한다.

켈리 공식 계산기

단순히 공식만 보면 정확히 체감되지 않기 때문에 다양한 계산기를 통해서 켈리 공식의 중요성을 확인해 볼 수 있다. 다양한 켈리 공식 계산기를 통해 자신의 투자 습관을 돌아보는 시간을 갖길 바란다.

진입 비율에 따른 수익율 계산

진입 비율을 늘릴 수록 수익률이 높아지다가 결국 손실을 보게 된다. 손익비, 승률을 입력하고, 진입 비율에 따라 수익률이 어떻게 바뀌는지 확인해 보자.

진입 비율에 따른 수익률 계산기

승률에 따른 수익률 계산

도박은 승률 계산이 가능한 경우가 많지만 투자는 승률을 판단하기 어렵다. 풍부하고 깊은 경험을 가진 투자자나 수 많은 백테스트를 거친 퀀트 투자 등은 어느 정도 승률을 예측 가능하지만 완벽하진 않다. 아무리 본인의 예측 능력이 뛰어나도 무리한 투자를 하면 손실로 이어질 수 있음을 계산기를 통해 확인해 보자.

승률에 따른 수익률 계산기

선물 거래 실전용 계산기

켈리 공식에 대한 이해가 충분하다면 진입가, 익절가, 손절가, 예상 승률을 적용하여 최적의 진입 비율을 적용해 보자. 최적의 진입 비율의 절반을 적용하여 더 안전한 투자를 하는 하프 켈리를 추천한다.

가상화폐 선물 거래를 위한 진입 비율 계산기 (익절, 손절, 승률 입력)

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